数学皇冠上的明珠(一秒带你了解里面的秘密)

数学皇冠上的明珠(一秒带你了解里面的秘密)

原标题：“数学皇冠上的宝石”——哥德巴赫猜想
1742年6月7日，哥德巴赫致信欧拉，提出著名的哥德巴赫猜想。
首先，提出背景
哥德巴赫在信中写道：如果取一个奇数，如77，可以写成三个素数之和，即77=53 ^ 17 ^ 7；任何奇数，如461，都可以表示为461=449 7 5，也是三个素数之和。461也可以写成257 199 5，还是三个素数之和。有很多例子，就是“任何大于5的奇数都是三个素数之和。”
欧拉于1742年6月30日回信给哥德巴赫。这个命题看似正确，但他无法给出严格的证明。同时，欧拉提出了另一个加强版(想想为什么加强):任何大于2的偶数都是两个素数之和。但他也没能证明这个命题。今天常见的猜想说法是欧拉版本。哥德巴赫原问题，称为弱哥德巴赫猜想，2013年被巴黎师范学院研究员哈罗德杰夫科特证明。
第二，“甲乙”问题的先进性
这是一个小学生都能理解的问题，至今还没有解决。如果把命题“任何足够大的偶数都可以表示为一个素数不超过A个素数因子的数与另一个素数不超过B个素数因子的数之和”写成“a b”。显然，哥德巴赫猜想可以写成“1 1”。“a b”问题的进展是通过所谓的筛选方法获得的，其进展如下：
1920年，挪威的布朗证明了“99”。
1924年，德国的拉特马赫证明了“77”。
1932年，英国的埃斯特曼证明了“66”。
1937年，意大利的莱西先后证明了“5 7”、“4 9”、“3 15”和“2 366”。
1938年，苏联的布赫西泰博证明了“55”。
1940年，苏联的布赫西泰博证明了“44”。
1956年，中国的王元证明了“34”。后来证明了“3 3”和“2 3”。
1948年，匈牙利的Rene证明了“1 c”，其中C是一个很大的自然数。
1962年，中国的潘承东和苏联的巴尔巴证明了“1 5”，中国的王元证明了“1 4”。
1965年，苏联的布克希泰博和乔治维诺格拉多夫以及意大利的庞比利证明了“1 3”。
1966年，中国的陈景润证明了“1 ^ 2”成立，即“任何足够大的偶数都可以表示为两个素数之和，或者一个素数和一个半素数之和”，离“1 ^ 1”只有“一步之遥”。这是目前这个研究方向最好的结果。关于陈景润证明“1 ^ 2”的故事，可以参考最接近“高才”的数学家陈景润。
第三，其他研究方向
1)三素数定理
如果连哥德巴赫猜想都是正确的，那么奇猜想也是正确的。我们可以反过来思考这个问题。众所周知，奇数n可以表示为三个素数之和。如果能证明三个素数中有一个很小，比如第一个素数总能取3，那么我们就证明了哥德巴赫的偶数猜想。
这一思想促使潘承东在1959年，也就是他25岁的时候，研究了一个小质数的三重质数定理。这个小质变量不超过n的次方，我们的目标是证明可以取0，即这个小质变量有界，从而推导出偶数哥德巴赫猜想。潘承东先生首先证明了可以取1/4。
很长一段时间后，直到1995年詹涛教授将潘先生的定理推进到7/120，这一领域才取得进展。这个数字比较小，但还是大于0。
2)异常集
取数轴上的一个大整数x，从x往前看，找出那些使哥德巴赫猜想站不住脚的偶数，即例外偶数。x之前所有例外偶数的个数记录为E(x)。我们希望无论X有多大，在X之前只有一个例外偶数，即2，也就是只有2使猜测错误。
这样，哥德巴赫猜想就相当于E(x)总是等于1。当然，直到现在也没有证明E(x)=1；但可以证明E(x)比x小很多，x之前的偶数约为x/2；如果当x趋于无穷大时，E(x)与x的比值趋于零，那么这些例外中偶数的密度为零，即哥德巴赫猜想对几乎所有偶数都成立。这就是异常集的思想。
维诺格拉多夫的三素数定理发表于1937年。第二年，以例外集的方式，同时出现了四个证明，其中包括华的著名定理。有很多业余哥德巴赫猜想者，声称“证明”了哥德巴赫猜想在概率意义上是正确的。事实上，他们只是“证明”了一个例外，即偶数是零密度。这个结论早在60年前就被华老证明了。
3)几乎哥德巴赫问题
1953年，林尼克发表了一篇70页的论文。本文中，他率先研究了几乎哥德巴赫问题，并证明了存在一个固定的非负整数k，使得任意大的偶数都可以写成两个素数之和，k的2次方。这个定理看似妖魔化哥德巴赫猜想，实际上却非常深刻。
我们注意到，可以写成2的k次幂之和的整数构成了一个非常稀疏的集合；实际上，对于任意给定的x，x之前这类整数的个数都不会超过log x的k次幂，因此，Linnik定理指出，虽然我们无法证明哥德巴赫猜想，但是我们可以在整数集中找到一个非常稀疏的子集，每次我们将这个稀疏子集的一个元素粘贴到这两个素数的表达式中，表达式都成立。
这里用k来衡量几乎哥德巴赫问题逼近哥德巴赫猜想的程度，k值越小表示逼近程度越好。显然，如果k等于0，哥德巴赫问题中几乎2的幂将不再出现。所以，林尼克定理是哥德巴赫猜想。
Linnik 1953年的论文没有规定k的允许值，40多年来，人们仍然不知道k能让Linnik定理成立多少。但根据Linnik的论证，这个k应该很大。1999年，作者与廖明哲及王天泽两位教授合作，首次定出k的可容许值54000。
　　这第一个可容许值后来被不断改进。其中有两个结果必须提到，即李红泽、王天泽独立地得到k=2000。目前最好的结果k=13是英国数学家希思-布朗和德国数学家普赫塔合作取得的，这是一个很大的突破。
　　四、结语
　　高斯曾经说过：“数学，科学的皇后；算术，数学的皇后。”后来自希尔伯特提出23个问题以后（哥德巴赫猜想是第8个问题中的一个子问题），这句话又有了一个推广：如果说数学是科学的皇后，哥德巴赫猜想就是皇冠上的明珠。
　　至今为止，哥德巴赫猜想仍然是未解之谜。也许，真的就存在一个初等证明，只是我们还没发现。尽管陈景润做出了举世瞩目的成就，但不得不承认的是，很多数学家为之奋斗了一辈子却毫无进展。我不去评价这种生活态度的好坏，站在理性的角度，我不鼓励也不反对现在的学生以后励志去攻克这样的难题，凭着自己的兴趣发展，一切顺其自然就好。
　　另外，关于研究哥德巴赫猜想的意义和作用，目前没有人知道，但不代表今后不会知道。笔者读大学期间，也问过老师，研究费马大定理有什么用？老师的回答是，以前爱因斯坦推出质能方程“E=mc2”的时候也不知道它有什么用，后来这个方程竟成了制造原子弹的理论依据（简单来说，就算m很小，由于c2很大，也可能产生很大的能量）。
　　所以我认为，基础数学研究，不应该以应用为目的，而应该以兴趣为基础。应用只是研究顺带产生的福利。传统的“经世致用”的思想可能也应该与时俱进了。
　　参考文献：
　　1.百度百科
　　2.历史上的今天
　　用加、减、乘、除和括号，将“1742年6月7日”中的4个数：6，7，17，42进行计算，得到32。
　　上期答案：（32-17）÷5×6=18
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　　原标题：数学皇冠上的明珠――歌德巴赫猜想
　　大约在250 年前，德国数字家哥德巴赫（全名Christian Goldbach）发现了这样一个现象：任何大于5的整数都可以表示为3个质数的和。他验证了许多数字，这个结论都是正确的。
　　但他却找不到任何办法从理论上彻底证明它，于是他在1742年6月7日写信和当时在柏林科学院工作的著名数学家欧拉请教。欧拉认真地思考了这个问题。
　　他首先逐个核对了一张长长的数字表：
　　6=2+2+2=3+3
　　8=2+3+3=3+5
　　9=3+3+3=2+7
　　10=2+3+5=5+5
　　11=5+3+3
　　12=5+5+2=5+7
　　99=89+7+3
　　100=11+17+71=97+3
　　101=97+2+2
　　102=97+2+3=97+5
　　……
　　这张表可以无限延长，而每一次延长都使欧拉对肯定哥德巴赫的猜想增加了信心。而且他发现证明这个问题实际上应该分成两部分。即证明所有大于2 的偶数总能写成2个质数之和，所有大于7的奇数总能写成3个质数之和。
　　当他最终坚信这一结论是真理的时候，就在6月30日复信给哥德巴赫。信中说：“任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理”。
　　由于欧拉是颇负盛名的数学家、科学家，所以他的信心吸引和鼓舞无数科学家试图证明它，但直到19世纪末也没有取得任何进展。这一看似简单实则困难无比的数论问题长期困扰着数学界。
　　谁能证明它谁就登上了数学王国中一座高耸奇异的山峰。因此有人把它比作“数学皇冠上的一颗明珠”。
　　实际上早已有人对大量的数字进行了验证，对偶数的验证已达到1.3亿个以上，还没有发现任何反例。那么为什么还不能对这个问题下结论呢？这是因为自然数有无限多个，不论验证了多少个数，也不能说下一个数必然如此。
　　数学的严密和精确对任何一个定理都要给出科学的证明。所以“哥德巴赫猜想”几百年来一直未能变成定理，这也正是它以“猜想”身份闻名天下的原因。
　　要证明这个问题有几种不同办法，其中之一是证明某数为两数之和，其中第一个数的质因数不超过a 个，第二数的质因数不超过b个。这个命题称为（a+b）。最终要达到的目标是证明（a+b）为（1+1）。
　　1920
　　挪威数学家布朗教授用古老的筛选法证明了任何一个大于2的偶数都能表示为9个质数的乘积与另外9个质数乘积的和，即证明了（a+b）为（9+9）
　　1924
　　德国数学家证明了（7+7）
　　1923
　　英国数学家证明了（6+6）
　　1937
　　苏联数学家维诺格拉多夫证明了充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和，这使欧拉设想中的奇数部分有了结论，剩下的只有偶数部分的命题了
　　1938
　　我国数学家华罗庚证明了几乎所有偶数都可以表示为一个质数和另一个质数的方幂之和
　　1938
　　1938年到1956年，苏联数学家又相继证明了（5+5），（4+4），（3+3）
　　1957
　　我国数学家王元证明了（2+3）
　　1962
　　我国数学家潘承洞与苏联数学家巴尔巴恩各自独立证明了（1+5）
　　1963
　　潘承洞、王元和巴尔巴恩又都证明了（1+4）
　　1965
　　几位数学家同时证明了（1+3）
　　1966
　　我国青年数学家陈景润（图61）在对筛选法进行了重要改进之后，终于证明了（1+2）
　　他的证明震惊中外，被誉为“推动了群山，”并被命名为“陈氏定理”。他证明了如下的结论：任何一个充分大的偶数，都可以表示成两个数之和，其中一个数是质数，别一个数或者是质数，或者是两个质数的乘积。
　　现在的证明距离最后的结果就差一步了（图62）。而这一步却无比艰难。30多年过去了，还没有能迈出这一步。许多科学家认为，要证明（1+1）以往的路走不通了，必须要创造新方法。
　　当“陈氏定理”公之于众的时候，许多业余数学爱好者也跃跃欲试，想要摘取“皇冠上的明珠”。然而科学不是儿戏，不存在任何捷径。只有那些有深厚的科学功底，“在崎岖小路的攀登上不畏劳苦的人，才有希望达到光辉的顶点。
　　“哥德巴赫猜想“这颗明珠还在闪闪发光地向数学家们招手，她希望数学家们能够早一天采摘到她。
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